[2015년 백석고]

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[2학년(이과) 2학기 기말 미적분2]

함수 [eqn: f(x)= { 3} over { ax+b}]이 [eqn: f(1)=1], [eqn: f`'(0)=-6]을 만족할 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: b>0]) [4.1점]

③

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 0]

정적분 [eqn: int_{- { pi} over { 2}}^{ { pi} over {2 }}left{sinx+x(sinx+cosx) right}dx]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

곡선 [eqn: y=lnx] 위의 점 [eqn: (e,```1)]에서의 접선이 곡선 [eqn: y=2 sqrt { x-k}]에 접할 때, 실수 [eqn: k]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: e]	② [eqn: e^2]	③ [eqn: e^3]

④ [eqn: e^4]	⑤ [eqn: e^5]

곡선 [eqn: y=(lnax)^2]의 변곡점이 직선 [eqn: y=3x-1] 위에 있을 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: { 3e} over {2 }]	② [eqn: {2e} over {3}]	③ [eqn: {e} over {3}]

④ [eqn: 3e]	⑤ [eqn: 2e]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족한다.

함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 존재하고, 그 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, [eqn: g'(-2)]의 값은? [4.5점]

(가) [eqn: f(-x)=-f(x)]

(나) [eqn: lim_x->1 { f(x)-2} over { x-1}=3]

①

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {3}]

④ [eqn: -{ 2} over {3 }]	⑤ [eqn: -1]

[eqn: int_{e^2 }^{e^3 } { a+lnx} over {x }dx=int_0 ^{ { pi} over {2 }}(1+sin^2 x)cosxdx]가 성립할 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4.5점]

⑤

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {2} over {3}]	③ [eqn: - {4} over {3}]

④ [eqn: - {5} over {6}]	⑤ [eqn: -{ 7} over {6 }]

열린 구간 [eqn: (0,```2pi)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= { sinx} over { e^3x}]가 [eqn: x=a]에서 극솟값을 가질 때, [eqn: sina]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: - {3 sqrt {10}} over {10}]	② [eqn: - {sqrt {10}} over {10}]	③ [eqn: {sqrt {10}} over {10}]

④ [eqn: {3 sqrt {10}} over {10}]	⑤ [eqn: 0]

정의역이 [eqn: left{`x`|`x>-1 right]인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(x)= { 1} over { (1+x^3 )^2}]이고, 함수 [eqn: g(x)=2x^2]일 때, [eqn: int_0 ^1 f(x)g'(x)dx= { 1} over { 6}]이다. [eqn: f(1)]의 값은? [4.7점]

③

① [eqn: 1over6]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: 1over4]

④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 1over2]

[eqn: 0le x <pi]일 때, 함수 [eqn: f(x)=tan { x} over {2 }+1]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자. 일차함수 [eqn: y=k-x]가 [eqn: 0<x<pi]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프와 만나는 두 점 사이의 거리가 최소가 될 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [4.8점]

④

① [eqn: {pi} over {2} +1]	② [eqn: pi} +1]	③ [eqn: pi+2]

④ [eqn: {pi } over {2} +2]	⑤ [eqn: pi+ {1} over {2}]

함수 [eqn: f(x)=(lnx) ^{2} (x ge1)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,
[eqn: int_1 ^e left{1-f(x)right}dx+int_0 ^1 g(x)dx]의 값은? [4.8점]

③

① [eqn: 2e-3]	② [eqn: 2e-2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 2e-1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmA(1,```0)]에서 출발하여 [eqn: x]축의 양의 방향으로 매초 [eqn: 1]의 속력으로 움직이고 있다. 점 [eqn: rmP]를 지나는 직선이 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rmQ]에서 원과 접한다고 할 때, [eqn: x]축과 선분 [eqn: rmPQ], 호 [eqn: rmAQ]로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S]라 하자. 출발한 후 [eqn: 3]초가 되는 순간, 넓이 [eqn: S]의 시간(초)에 대한 변화율은? [4.9점]

③

① [eqn: {3sqrt { 2}}over16]	② [eqn: {5 sqrt {2}} over {8}]	③ [eqn: {sqrt {15}} over {8}]

④ [eqn: sqrt { 2} over3]	⑤ [eqn: {sqrt {15}} over {2}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: y=n], [eqn: x=t]으로 둘러싸인 부분의 넓이가 같도록 하는 상수 [eqn: t]의 값을 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: S _{n} =sum _{k=1} ^{n} a _{k}]에 대하여 [eqn: lim _{n->inf} {S _{n}} over {n ^{3}}]의 값은? (단, [eqn: t>1]) [4.9점]

④

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {8}]

④ [eqn: {1} over {9}]	⑤ [eqn: {1} over {12}]

[eqn: a _{n} =(n+1)int _{alpha} ^{beta} (cot ^{n} x+cot ^{n+2} x)dx(n=1,```2,```3,```cdots)]으로
정의할 때, [eqn: a _{5} -(a _{1} +a _{2} )]의 값은? (단, [eqn: alpha], [eqn: beta]는 제[eqn: 1]사분면의
각이고, [eqn: tanalpha= {1} over {2}], [eqn: tanbeta=1]이다.) [5.0점]

⑤

① [eqn: 23]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 39]

④ [eqn: 49]	⑤ [eqn: 53]

함수 [eqn: f(x)=ln(x^2 +2)]가 있다. 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: |f(x_1 )-f(x_2 )|le M` |x_1 -x_2 |]를 만족하는 상수 [eqn: M]의 값의 최솟값은? [5.1점]

①

① [eqn: { sqrt { 2} } over { 2}]	② [eqn: { sqrt { 2} } over {3 }]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {4}]

④ [eqn: { 2sqrt { 2} } over {3 }]	⑤ [eqn: sqrt { 2}]

단답형

함수 [eqn: f(x)= cases{ ae^x +b&```(-1 <x<0) # sin(tanx)& ```(0 le x<1)}]가 열린 구간 [eqn: (-1,```1)]에서 미분가능하도록 하는 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값을 구하시오. [4.0점]

[eqn: 2]

그림과 같이 닫힌 구간 [eqn: [1,```2]]에서 곡선 [eqn: y=ln(x+1)] 위의 점 [eqn: {rmP}(x,```ln(x+1))]에서 [eqn: x]축 위에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, 선분 [eqn: rmPH]를 밑변으로 하고 [eqn: rmangleP=90DEG], 높이가 [eqn: x]인 직각 삼각형을 [eqn: x]축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: x=1]에서 [eqn: x=2]까지 변할 때, 이 직각삼각형이 만드는 입체도형의 부피를 구하시오. [6점]

[eqn: {3} over {4} `ln3- { 1} over {8 }]

서술형

곡선 [eqn: y=4 sqrt { x}] 위의 원점이 아닌 점 [eqn: {rmP}(t,```4 sqrt { t} )]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라고 할 때, 극한값 [eqn: lim_t->inf { {rmbarPQ} over {t }]의 값을 구하고 그 과정을 자세히 서술하시오. [5점]

[eqn: 2]

실수 전체에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: int_1 ^x f(t)dt=xf(x)-x^2 e^-x]
를 만족할 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극값을 구하고 그 과정을 자세히 서술하시오. [6점]

[eqn: { 1+e} over {e^2 }]

실수 [eqn: k]에 대하여 방정식 [eqn: (x-1)^3 =kx^2]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 [eqn: k]의 값을 구하고 그 과정을 자세히 서술하시오. [7점]

[eqn: -{ 27} over {4 }]

함수 [eqn: f(x)=x^2]이 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [1,```2]]를 [eqn: n]등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 [eqn: 1=x_0], [eqn: x_1], [eqn: x_2], [eqn: cdots], [eqn: x_n-1], [eqn: x_n =2]라 하자. 점 [eqn: (x_k ,```0)]을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 직선 [eqn: y=4]와 함수 [eqn: f(x)=x^2]과 만나는 점을 각각 [eqn: {rmP}_k], [eqn: {rmQ}_k]라 할 때, 선분 [eqn: {rmP}_k {rmQ}_k]의 길이를 [eqn: l_k (k=1,```2,```cdots,```n)]이라 하자. [eqn: lim_n->inf { 1} over {n }sum_k=1 ^n sqrt { l_k}]의 값을 구하고 그 과정을 자세히 서술하시오. [7점]

[eqn: {2pi } over {3} - {sqrt {3}} over {2}]

[2015년 백석고]

[2학년(이과) 2학기 기말 미적분2]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com